Конспект

Угол между двумя прямыми на плоскости

Для нахождения угла между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами, используется формула, основанная на тангенсе разности углов их наклона.

Пусть даны две прямые:

• L₁: y = k₁x + b₁ с углом наклона α₁ (где k₁ = tg α₁)
• L₂: y = k₂x + b₂ с углом наклона α₂ (где k₂ = tg α₂)

Угол φ между прямыми находится по формуле:

tg φ = | (k₂ - k₁) / (1 + k₁k₂) |

Модуль в формуле гарантирует, что мы всегда получаем значение острого угла между прямыми.

Частные случаи взаимного расположения прямых

Параллельность прямых

Прямые параллельны, если угол между ними равен нулю (φ = 0), а значит tg φ = 0.

• Условие параллельности: k₂ = k₁ (числитель формулы для tg φ обращается в ноль).

Перпендикулярность прямых

Прямые перпендикулярны, если угол между ними равен π/2 (90°). Тангенс этого угла не определён (стремится к бесконечности).

• Условие перпендикулярности: 1 + k₁k₂ = 0 или k₁k₂ = -1 (знаменатель формулы для tg φ обращается в ноль).

Пример решения задачи

Задача: Найти уравнение прямой, проходящей через точку M(-1; 2) и составляющей с прямой y = 2x - 1 угол π/4 (45°).

Дано: φ = π/4 (tg φ = 1), k₁ = 2.

Решение:

1. Подставляем известные значения в формулу для тангенса угла:
   1 = | (k₂ - 2) / (1 + 2k₂) |
2. Раскрываем модуль, получаем совокупность двух уравнений:
   • (k₂ - 2) / (1 + 2k₂) = 1
   • (k₂ - 2) / (1 + 2k₂) = -1
3. Решаем уравнения, находим два возможных угловых коэффициента для искомой прямой:
   • k₂ = -3
   • k₂ = 1/3
4. Используем уравнение пучка прямых, проходящих через точку M(x₁; y₁): y - y₁ = k(x - x₁).
   • Для k = -3: y - 2 = -3(x + 1) → y = -3x - 1
   • Для k = 1/3: y - 2 = (1/3)(x + 1) → y = (1/3)x + 7/3

Результат: Существуют две прямые, удовлетворяющие условию задачи. Интересно, что эти две найденные прямые оказываются взаимно перпендикулярными, так как их угловые коэффициенты (-3 и 1/3) удовлетворяют условию перпендикулярности: -3 * (1/3) = -1.