Степенная функция y = xⁿ
Рассматриваются степенные функции с разными показателями степени n.
- n = 1: График — прямая линия, проходящая под углом 45° к оси X.
- n > 1 (например, n = 2): График — парабола. Функция выпукла вниз и возрастает быстрее, чем линейная зависимость.
- n — дробное (например, n = 1/2): График — функция корня. Функция выпукла вверх и возрастает медленнее линейной. Область определения при дробных n может меняться (например, для n=1/2: x ≥ 0).
Для степенной функции с положительным показателем: при n=1 — прямая, при n>1 — выпукла вниз, при дробном n — выпукла вверх.
Степенная функция с отрицательным показателем
При отрицательных значениях n степенная функция меняет свои свойства.
- Пример (n = -1): График — гипербола.
Показательная функция y = aˣ
Поведение показательной функции зависит от основания a.
- a > 1: График возрастает, проходит через точку (0, 1). Область значений — только положительные числа. График выпукл вниз, а скорость возрастания выше, чем у степенной функции.
- 0 < a < 1: График убывает.
Логарифмическая функция y = logₐ(x)
Логарифмическая функция является обратной к показательной.
- Область определения: только положительные значения x (x > 0).
- a > 1: График возрастает. При x → 0, y → -∞.
- a < 1: График убывает.
Среди элементарных функций, не являющихся композиционными, логарифм возрастает медленнее всех. Он возрастает даже медленнее, чем степенная функция с дробным показателем (например, √x).
Тригонометрические функции
Графики синуса и косинуса удобно строить, используя единичную окружность, где синус — проекция точки на ось Y, а косинус — проекция на ось X.
y = sin(x):
- Ограничен: |sin(x)| ≤ 1.
- Характерные точки: sin(0)=0, sin(π/2)=1, sin(π)=0, sin(3π/2)=-1.
- График — периодическая волна с периодом 2π.
y = cos(x):
- График похож на график синуса, но сдвинут на π/2.
- cos(0)=1.
- Также ограничен и периодичен с периодом 2π.
y = tg(x) = sin(x)/cos(x):
- Область определения: все x, кроме тех, где cos(x) = 0 (x = π/2 + πk).
- В точках, где cos(x)=0, график имеет вертикальные асимптоты (например, при x = ±π/2).
- Рекомендуется самостоятельно построить графики тангенса, котангенса и обратных тригонометрических функций.