Ваш конспект

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Ключевые тезисы:

• Уравнение первого порядка можно записать в дифференциальной форме.
• Простейший вид — уравнение с разделенными переменными, где функции при dx и dy зависят только от x и y соответственно.
• Уравнение с разделяющимися переменными — это частный случай, который можно привести к форме с разделенными переменными.
• Решение находится путем интегрирования обеих частей.
• Важно отдельно рассмотреть случаи, когда функции, на которые производится деление, равны нулю.

Дифференциальная форма уравнения

Дифференциальная форма уравнения первого порядка — это запись вида:
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

Она эквивалентна обычной форме F(x, y, y') = 0, так как производную y' можно представить как отношение дифференциалов dy/dx.

Уравнение с разделенными переменными

Это уравнение вида:
p(x) dx + q(y) dy = 0.

Метод решения:

1. Проинтегрировать обе части:
   ∫ p(x) dx + ∫ q(y) dy = C.
2. Результат — общее решение (интеграл) уравнения. Его можно оставить в неявном виде или попытаться явно выразить y.

Пример:
(x² + 3x - 1) dx + eʸ dy = 0
Решение:
(x³/3) + (3x²/2) - x + eʸ = C
Или, выразив y:
y = ln|C - (x³/3) - (3x²/2) + x|

Уравнение с разделяющимися переменными

Это уравнение вида:
M₁(x) * N₁(y) dx + M₂(x) * N₂(y) dy = 0.

Алгоритм решения:

1. Привести к форме с разделенными переменными, разделив обе части на произведение N₁(y) * M₂(x) (при условии, что они не равны нулю).
2. Получим: [M₁(x)/M₂(x)] dx + [N₂(y)/N₁(y)] dy = 0.
3. Проинтегрировать полученное уравнение.

Важно: После нахождения общего решения необходимо отдельно проверить случаи, когда N₁(y) = 0 или M₂(x) = 0. Соответствующие y или x могут быть частными решениями, не входящими в общую формулу.

Примеры решения

Пример 1:
Уравнение: x(1+y) dy + y(1-x) dx = 0

1. Делим на x*y (при x≠0, y≠0):
   [(1+y)/y] dy + [(1-x)/x] dx = 0
2. Интегрируем:
   ∫(1/y + 1) dy + ∫(1/x - 1) dx = C
ln|y| + y + ln|x| - x = C
3. После преобразований общее решение:
   x * y * eʸ⁻ˣ = C
4. Проверяем особые случаи:

• x = 0 подстановкой дает 0 = 0 → решение.
• y = 0 аналогично дает 0 = 0 → решение.
  Эти решения входят в общее при C = 0.

Пример 2:
Уравнение: x * y' = y² + 1

1. Приводим к дифференциальной форме:
   x dy - (y² + 1) dx = 0
2. Делим на x*(y²+1) (при x≠0):
   [dy/(y²+1)] - [dx/x] = 0
3. Интегрируем:
   arctg(y) - ln|x| = C
4. Особые случаи:

• x = 0 не является решением (при подстановке получаем 0 = y²+1, что невозможно).
• y²+1 = 0 не имеет действительных решений.

Выводы

• Уравнения с разделяющимися переменными решаются приведением к форме с разделенными переменными и последующим интегрированием.
• Ключевой шаг — деление уравнения на произведение функций, зависящих только от x и y.
• Нельзя забывать об анализе особых случаев, когда функции, на которые делили, обращаются в ноль. Эти случаи могут давать дополнительные (особые) решения.