Конспект

Определение эллипса

Эллипс — это кривая второго порядка, которая определяется как множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная. Эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между самими фокусами. Наглядная иллюстрация: если к двум неподвижным точкам (фокусам) привязать нить постоянной длины и, натягивая её карандашом, двигаться, то очерченная линия будет эллипсом. Сумма расстояний от точки на кривой до фокусов всегда равна длине нити.

Этот факт и лежит в основе определения кривой второго порядка, которая называется эллипсом.

Примером из природы являются орбиты планет Солнечной системы, которые движутся по эллиптическим траекториям, причём Солнце находится в одном из фокусов.

Каноническое уравнение эллипса

Для вывода уравнения рассматривается прямоугольная система координат, где фокусы F₁(-c; 0) и F₂(c; 0) расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Согласно определению, для произвольной точки M(x; y) эллипса выполняется: MF₁ + MF₂ = 2a = const.

После преобразований и введения параметра b² = a² - c² получается каноническое уравнение эллипса:
x² / a² + y² / b² = 1.

Геометрические параметры эллипса

Параметры в каноническом уравнении имеют конкретный геометрический смысл:

• Параметр c — расстояние от центра (начала координат) до каждого из фокусов. Расстояние между фокусами равно 2c.
• Большая полуось a — расстояние от центра до вершин A₁(-a; 0) и A₂(a; 0) (точек пересечения с осью Ox). Верно: a > c.
• Малая полуось b — расстояние от центра до вершин B₁(0; b) и B₂(0; -b) (точек пересечения с осью Oy). Связана с a и c соотношением: b² = a² - c².

Эксцентриситет и форма эллипса

Важной характеристикой формы эллипса является эксцентриситет ε (эпсилон), который вычисляется по формуле:
ε = c / a.

Так как c < a, эксцентриситет всегда лежит в пределах: 0 < ε < 1.

• Если ε → 0, то c мало, a ≈ b. Эллипс по форме близок к окружности. При ε = 0 (когда c=0) фокусы совпадают с центром, и эллипс становится окружностью.
• Если ε → 1, то c ≈ a, b мало. Эллипс сильно вытянут вдоль большой оси.

Пример составления уравнения

Условие: Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет ε = 0.6. Составить каноническое уравнение.

Решение:

1. Расстояние между фокусами: 2c = 6 → c = 3.
2. Из формулы эксцентриситета находим большую полуось: a = c / ε = 3 / 0.6 = 5.
3. Находим малую полуось: b² = a² - c² = 25 - 9 = 16 → b = 4.
4. Подставляем в каноническое уравнение: x² / 25 + y² / 16 = 1.

По найденным полуосям (a=5, b=4) можно построить эскиз эллипса.