Нормальное уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой можно вывести, используя вектор нормали. Если из начала координат провести вектор нормали n к прямой, то проекция радиус-вектора OM любой точки M, лежащей на прямой, на направление этого нормали будет постоянной величиной, равной расстоянию p от начала координат до прямой.
- Проекция вектора OM на направление единичного вектора нормали n₀ записывается как их скалярное произведение: (OM · n₀) = p.
- Если координаты точки M — (x, y), а направляющие косинусы единичного вектора нормали — cos α и cos β, уравнение принимает вид: x cos α + y cos β = p.
- Это нормальное уравнение прямой. Оно эквивалентно общему виду Ax + By + C = 0, где вектор (A, B) является вектором нормали к прямой (не обязательно единичным).
Проекция вектора OM на направление n есть величина постоянная и равна величине p.
Таким образом, нормальное уравнение явно содержит геометрическую характеристику прямой — расстояние до начала координат и направление нормали.
Уравнение плоскости в пространстве
Аналогичный подход применяется для вывода уравнения плоскости в трёхмерном пространстве. Проекция радиус-вектора OM произвольной точки плоскости на единичный вектор нормали к этой плоскости также является постоянной величиной p.
- Если единичный вектор нормали n₀ имеет направляющие косинусы (cos α, cos β, cos γ), а координаты точки M — (x, y, z), уравнение плоскости записывается как: x cos α + y cos β + z cos γ = p.
- Это уравнение соответствует общему виду Ax + By + Cz + D = 0, где вектор (A, B, C) является вектором нормали к плоскости.
Уравнение в нормальной форме удобно для геометрической интерпретации, так как напрямую задаёт ориентацию плоскости в пространстве и расстояние от неё до начала координат.
Задание переменного вектора (вектор-функции)
Для описания движения точки по кривой используется переменный вектор (вектор-функция), зависящий от параметра, чаще всего от времени t.
- Переменный радиус-вектор r(t) задаётся тремя скалярными координатными функциями: r(t) = (rₓ(t), rᵧ(t), r₂(t)).
- Таким образом, задание вектор-функции одного параметра эквивалентно заданию трёх скалярных уравнений.
Этот подход позволяет применять аппарат векторной алгебры к решению геометрических и кинематических задач, описывая положение точки в пространстве как единый векторный объект.