Уравнение прямой на плоскости
Прямая в декартовой системе координат описывается уравнением с угловым коэффициентом: y = kx + b.
- Угловой коэффициент (k) — это тангенс угла наклона прямой к оси Ox: k = tg α.
- Его можно выразить через координаты двух точек на прямой, M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂): k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
Если прямая проходит через известную точку M₀(x₀, y₀), её уравнение можно записать в виде:
y - y₀ = k(x - x₀).
Это уравнение называется уравнением пучка прямых, так как оно определяет множество всех прямых, проходящих через заданную точку M₀ (угол наклона k может быть любым).
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Если известны две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂), уравнение прямой принимает вид:
(y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁).
Это следует из подстановки вычисленного углового коэффициента k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) в уравнение пучка прямых для точки M₁.
Угол между двумя прямыми
Пусть даны две прямые с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ и углами наклона α₁ и α₂ соответственно. Угол φ между прямыми вычисляется по формуле тангенса разности:
tg φ = (k₂ - k₁) / (1 + k₂k₁)
Из этой общей формулы следуют важные частные случаи взаимного расположения прямых.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- Прямые параллельны (l₁ ‖ l₂), если их угловые коэффициенты равны: k₁ = k₂.
- Прямые перпендикулярны (l₁ ⟂ l₂), если выполняется условие: k₂ = -1 / k₁. Это следует из того, что тангенс угла 90° стремится к бесконечности, что возможно, когда знаменатель в формуле для tg φ равен нулю: 1 + k₂k₁ = 0.
Общее уравнение прямой и связь с угловым коэффициентом
Прямая может быть задана общим уравнением: Ax + By + C = 0.
Его можно преобразовать к уравнению с угловым коэффициентом:
y = -(A/B)x - (C/B).
Отсюда следуют соотношения:
- Угловой коэффициент: k = -A/B.
- Свободный член: b = -C/B.
Условия параллельности и перпендикулярности для прямых, заданных общими уравнениями, можно выразить через коэффициенты A и B, преобразовав условия для угловых коэффициентов.