Ваш конспект

Практика по экономике (задание 17 ЕГЭ)

Ключевые тезисы:

• Разбор трёх основных типов задач на кредиты: аннуитетные платежи, дифференцированные (div) платежи и неравномерное уменьшение долга.
• Построение математической модели через таблицу — универсальный и наглядный способ.
• Важно понимать суть процессов, а не просто заучивать шаблоны.
• Прогноз: на ЕГЭ ожидаются классические задачи (аннуитет или дифференцированный платёж), оптимизационных задач не будет.

Аннуитетный платёж (равные выплаты)

Суть: Все ежегодные выплаты по кредиту одинаковы.

Пример задачи:
Кредит взят на 3 года под 25% годовых. Каждый январь долг увеличивается на 25%. Известно, что сумма всех выплат на 65 500 рублей больше суммы кредита. Найти сумму кредита.

Решение (через таблицу):

Ключевые уравнения:

1. Сумма выплат: 3X.
2. Переплата: 3X - S = 65 500 → X = (S + 65 500) / 3.
3. Уравнение из таблицы (долг после 3-й выплаты = 0):
   S * (1.25)³ - X * (1.25² + 1.25 + 1) = 0.

Итог: Подстановка и решение уравнения дают S = 122 000 рублей.

Дифференцированный платёж (равномерное уменьшение долга)

Суть: Тело кредита уменьшается каждый год на одну и ту же сумму, а проценты начисляются на остаток. Выплаты разные (убывают).

Пример задачи:
Кредит 5 млн рублей взят на n лет под 20% годовых. Долг уменьшается на одну и ту же сумму. Общая сумма выплат — 7,5 млн рублей. Найти n.

Решение:
Сумма, на которую уменьшается долг ежегодно: d = S / n = 5 000 000 / n.

Модель через таблицу (для первого года):

• Долг до %: S.
• Долг после %: S + 20% от S = S + 0.2S.
• Выплата: 0.2S + d (проценты + часть основного долга).
• Долг после выплаты: S - d.

Сумма всех выплат:
Это сумма всех процентов (0.2 * (S + (S-d) + (S-2d) + ... + d)) плюс сумма всех частей основного долга (n * d = S).

Выплаты образуют арифметическую прогрессию. Сумма процентов:
0.2 * (S + (S-d) + ... + d) = 0.2 * ((S + d) / 2 * n).

Уравнение:
S + 0.2 * ((S + d) / 2 * n) = 7 500 000.
Подставляем S = 5 000 000, d = 5 000 000 / n и решаем.

Итог: Получаем n = 4 года.

Смешанный тип (неравномерное уменьшение долга)

Суть: Процентная ставка или сумма уменьшения долга меняется в течение срока кредита.

Пример задачи:
Кредит 1 500 000 рублей на 10 лет. Первые 5 лет ставка 22%, следующие 5 лет — 18%. Долг уменьшается на одну и ту же сумму ежегодно. Найти, на сколько последняя выплата меньше выплаты 5-го года.

Решение:

1. Находим сумму равномерного уменьшения долга (X):
   X = S / n = 1 500 000 / 10 = 150 000 рублей.
2. Выплата в году k состоит из:
   • Процентов на остаток долга на начало года.
   • Фиксированной суммы X.
3. Выплата за 5-й год (ставка 22%):
   Остаток долга на начало 5-го года: S - 4X.
   Выплата = 0.22*(S - 4X) + X.
4. Выплата за 10-й (последний) год (ставка 18%):
   Остаток долга на начало 10-го года: S - 9X.
   Выплата = 0.18*(S - 9X) + X.
5. Подставляем S = 1 500 000, X = 150 000 и находим разницу.

Итог: Разница выплат составляет 171 000 рублей.

Важные моменты и советы

• Таблица — ваш друг. Её заполнение является строгим обоснованием решения для эксперта.
• В дифплатежах сумма равномерного уменьшения d = S / n работает только если долг уменьшается равномерно все n периодов. Если в последнем периоде уменьшение другое (как в задаче на 31 месяц), эту формулу применять ко всей сумме нельзя.
• Сумма всех выплат в дифплатеже = S + сумма всех начисленных процентов. Сумму процентов удобно считать как процент от суммы членов арифметической прогрессии (остатков долга).
• Для подготовки: Обязательно посмотрите шестичасовой разбор всех прототипов на платформе/YouTube. Там разобраны все типы задач, включая вклады (маловероятные на ЕГЭ) и другие нюансы.

Главный вывод: Задание 17 — одно из самых прогнозируемых и "заботичных" в профильной математике. Понимание логики трёх основных схем (аннуитет, дифплатеж, смешанный) и умение строить таблицу гарантирует успех.