Ваш конспект

Нормальное распределение и его применение

Ключевые тезисы:

• Биномиальное распределение при большом числе испытаний (n) сходится к нормальному (Гауссову) распределению.
• Нормальное распределение описывается двумя параметрами: средним значением (μ) и стандартным отклонением (σ).
• Стандартное нормальное распределение — это частный случай с μ=0 и σ=1.
• Вероятности для нормального распределения удобно вычислять через кумулятивную функцию распределения (CDF).
• Использование нормальной аппроксимации упрощает вычисление сложных вероятностей для биномиального распределения.

Связь биномиального и нормального распределений

• Биномиальное распределение моделирует количество успехов (s) в серии независимых испытаний (например, количество орлов при 100 бросках монеты).
• При достаточно большом n и умеренных вероятностях это распределение начинает сходиться к нормальному.
• Нормальное распределение (Гауссово) имеет форму колокола и характеризуется:
  • μ (среднее) — центр распределения.
  • σ (стандартное отклонение) или σ² (дисперсия) — мера разброса данных.
    • Большое σ → широкое, пологое распределение.
    • Малое σ → узкое, пикообразное распределение (значения близки к среднему).

Стандартное нормальное распределение

• Это каноническая форма с параметрами μ = 0 и σ = 1.
• Его функция плотности вероятности (PDF) симметрична относительно среднего.
• Вероятность того, что случайная величина X лежит в интервале [a, b], вычисляется как интеграл от PDF на этом отрезке:

  P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx

• Кумулятивная функция распределения (CDF), обозначаемая Φ(x), определяется как:

  Φ(x) = P(X ≤ x) = ∫[-∞, x] f(t) dt

  • Это вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное x.
  • CDF монотонно возрастает от 0 до 1.

Практическое вычисление вероятностей

• Раньше для расчётов использовали таблицы (глиняные таблички ) значений CDF только для стандартного нормального распределения.
• Сегодня это делается одной командой в Python (например, в scipy.stats).
• Полезный факт: Для стандартного нормального распределения:
  • Вероятность попасть в интервал ±1σ от среднего (т.е. между -1 и 1) составляет около 68%.
  • Φ(1) ≈ 0.841 (вероятность того, что X ≤ 1).

Пример: Аппроксимация биномиального распределения

Задача: Найти вероятность выпадения от 190 до 230 орлов при 400 бросках честной монеты (p = 0.5).

Традиционный (сложный) способ:

• Случайная величина X (число орлов) имеет биномиальное распределение: X ~ Bin(n=400, p=0.5).
• Нужно просуммировать 41 вероятность: P(X=190) + P(X=191) + ... + P(X=230).

Упрощённый способ через нормальную аппроксимацию:

1. Находим параметры аппроксимирующего нормального распределения:
   • μ = n * p = 400 * 0.5 = 200
   • σ² = n * p * (1-p) = 400 * 0.5 * 0.5 = 100 → σ = 10
2. Таким образом, X приближённо распределено как N(μ=200, σ=10).
3. Искомая вероятность P(190 ≤ X ≤ 230) вычисляется как разность значений CDF в точках 230 и 190 для этого нормального распределения.
4. Результат: вероятность составляет около 85%.

Выводы:

• Нормальное распределение — мощный инструмент для аппроксимации биномиального при больших n.
• Использование CDF (кумулятивной функции распределения) кардинально упрощает вычисление вероятностей для интервалов.
• Современные вычислительные инструменты (как Python) позволяют легко работать с нормальными распределениями с любыми параметрами, минуя устаревшие таблицы.
• Ключевое практическое правило: в нормальном распределении ≈68% данных лежат в пределах одного стандартного отклонения (σ) от среднего (μ).