Конспект

Кривые в пространстве

Кривая — это траектория движения материальной точки в пространстве или на плоскости. Она задаётся вектор-функцией, зависящей от параметра. Мы рассматриваем спрямляемые кривые, то есть кривые с конечной длиной.

• Длина кривой определяется как предел сумм длин отрезков, соединяющих точки на кривой, при неограниченном измельчении разбиения.
• Кривая называется гладкой, если вектор-функция, её задающая, непрерывно дифференцируема, а её производная (вектор скорости) нигде не обращается в ноль.
• Для гладкой кривой справедлива формула для дифференциала длины дуги: ds = |r'(t)| dt, где r(t) — вектор-функция.

Таким образом, длина участка кривой вычисляется интегрированием модуля скорости по параметру.

Криволинейный интеграл первого рода

Это интеграл от функции, заданной вдоль кривой. Его физический смысл может быть, например, массой кривой с заданной линейной плотностью.

• Интеграл строится аналогично определённому интегралу: кривая разбивается на малые участки, на каждом выбирается значение функции, которое умножается на длину участка, затем предел суммы при стремлении длины наибольшего участка к нулю.
• Свойства интеграла первого рода:
  • Линейность: Интеграл от линейной комбинации функций равен такой же линейной комбинации интегралов.
  • Аддитивность: Если кривая состоит из двух частей без общих точек, интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по частям.
• Вычисление сводится к обычному интегралу по параметру: ∫_γ f ds = ∫ f(r(t)) * |r'(t)| dt.

Этот интеграл не зависит от направления движения по кривой (от ориентации).

Криволинейный интеграл второго рода (работа силы)

Это интеграл, физический смысл которого — работа силы при перемещении материальной точки вдоль ориентированной кривой.

• Работа зависит от направления движения по пути: при изменении ориентации знак работы меняется на противоположный.
• Для вычисления кривую разбивают на малые участки, работу на каждом приближённо находят как скалярное произведение вектора силы в выбранной точке на вектор смещения.
• Предел таких сумм даёт интеграл второго рода. В координатной форме для силы F = (P, Q, R) и кривой γ он записывается как:
  ∫_γ P dx + Q dy + R dz.
• Вычисление также сводится к обычному интегралу по параметру, если подставить параметризацию кривой x(t), y(t), z(t) и их дифференциалы.

Свойства интеграла второго рода:

• Обладает свойством линейности.
• При изменении ориентации кривой (движении в обратном направлении) интеграл меняет знак: ∫_(-γ) = - ∫_γ.

Таким образом, интеграл второго рода зависит не только от кривой как множества точек, но и от направления движения по ней.