Решение показательного неравенства из ЕГЭ
Ключевые тезисы:
- Задача сводится к решению сложного показательного неравенства.
- Основной приём — преобразование выражений к общему основанию и последующая группировка.
- Ключевой этап — применение метода рационализации для упрощения неравенства.
- Критически важно обращать внимание на строгость/нестрогость знака при записи ответа.
Преобразование исходного выражения
Исходное неравенство содержит степени чисел 3, 5, 9, 15, 27, 45. Первый шаг — выразить всё через основания 3 и 5:
27^(x+1) = 27 * 27^x = 27 * 3^(3x)45^x = (5*9)^x = 5^x * 9^x = 5^x * 3^(2x)15^x = (3*5)^x = 3^x * 5^x9^x = 3^(2x)
После подстановки и перегруппировки слагаемых удаётся вынести общий множитель (5^x - 3^x).
Сведение к квадратному уравнению
После вынесения общего множителя одна из скобок превращается в квадратное уравнение относительно t = 3^x:27t² - 12t + 1 = 0
Решения квадратного уравнения:t₁ = 1/3 → 3^x = 1/3 → x = -1t₂ = 1/9 → 3^x = 1/9 → x = -2
Применение метода рационализации
После преобразований неравенство принимает вид, где можно применить метод рационализации — мощный приём для замены показательных выражений на линейные.
Основные формулы метода:
- Если основания одинаковые (
a), а степени разные (nиm):a^n - a^mможно заменить на(a - 1)(n - m) - Если степени одинаковые (
n), а основания разные (aиb):a^n - b^nможно заменить на(a - b)n
В данной задаче используется вторая формула для замены выражения 5^x - 3^x на (5 - 3)x = 2x.
Решение методом интервалов
После применения рационализации и сокращения констант неравенство сводится к виду, удобному для метода интервалов. На числовой прямой отмечаются критические точки (включая x = -1 и x = -2), определяется знак выражения на каждом промежутке.
Важное замечание: Поскольку исходное неравенство нестрогое (≤), все критические точки на числовой прямой должны быть закрашены (включены в ответ).
Итоговый ответ
После расстановки знаков выбираются промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Итоговый ответ объединяет найденные интервалы.