Конспект

Правило треугольника для определителя 3-го порядка

Правило треугольника — это наглядный способ вычисления определителя квадратной матрицы 3x3. Оно основано на геометрической интерпретации и позволяет найти определитель как алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трёх элементов матрицы.

Формирование слагаемых

Всего формируется шесть слагаемых. Их можно разбить на две группы: три со знаком «плюс» и три со знаком «минус».

Слагаемые со знаком «+»:

• Главная диагональ: произведение элементов a₁₁, a₂₂, a₃₃.
• Параллели главной диагонали: произведение элементов, образующих «треугольники», параллельные главной диагонали. Это комбинации:
  • a₁₂, a₂₃, a₃₁
  • a₂₁, a₃₂, a₁₃

Слагаемые со знаком «-»:

• Побочная диагональ: произведение элементов a₁₃, a₂₂, a₃₁.
• Параллели побочной диагонали: произведение элементов, образующих «треугольники», параллельные побочной диагонали. Это комбинации:
  • a₁₂, a₂₁, a₃₃
  • a₂₃, a₃₂, a₁₁

Ключевое правило: в каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы.

Пример вычисления

Дана матрица:

[ 2   1  -2 ]
[ -1  4   5 ]
[ 3   1   1 ]

Вычисляем слагаемые со знаком «+»:

1. Главная диагональ: 2 * 4 * 1 = 8
2. Треугольник 1: 1 * 5 * 3 = 15
3. Треугольник 2: (-1) * 1 * (-2) = 2
   • Сумма: 8 + 15 + 2 = 25

Вычисляем слагаемые со знаком «-»:

1. Побочная диагональ: (-2) * 4 * 3 = -24
2. Треугольник 1: 1 * (-1) * 1 = -1
3. Треугольник 2: 5 * 1 * 2 = 10
   • Сумма в скобках: (-24) + (-1) + 10 = -15

Итоговый определитель:
25 - (-15) = 25 + 15 = 40

Определитель данной матрицы равен 40.