Введение в теорию пределов
Начинается изучение теории пределов числовых последовательностей, которая является основой для дифференциального и интегрального исчисления.
Числовая последовательность
Числовая последовательность — это счётное упорядоченное множество чисел, занумерованных натуральными индексами. Важен именно порядок следования элементов.
Сходимость и конечный предел
Действительное число a называется пределом последовательности {xₙ}, если для любого ε > 0 существует номер N такой, что для всех n > N выполняется |xₙ – a| < ε.
Геометрическая интерпретация и следствия
На числовой прямой это означает, что начиная с некоторого номера все элементы последовательности попадают в ε-окрестность точки a.
- Из сходимости к конечному пределу мгновенно следует, что последовательность ограничена (существует число M: |xₙ| ≤ M для всех n).
- Сходящаяся последовательность имеет единственный предел (свойство единственности).
Все элементы последовательности, кроме конечного числа, находятся в окрестности предела.
Бесконечные пределы
Определения строятся по аналогии, используя понятие окрестности бесконечности.
- Предел "+∞": ∀M ∃N: ∀n > N ⇒ xₙ > M.
- Предел "–∞": ∀M ∃N: ∀n > N ⇒ xₙ < M.
- Предел "∞" (без знака): ∀M ∃N: ∀n > N ⇒ |xₙ| > M.
Последовательность, сходящаяся к бесконечности, не является ограниченной.
Лемма о зажатой последовательности
Если для последовательности {zₙ}, начиная с некоторого номера, выполняется xₙ ≤ zₙ ≤ yₙ, и при этом пределы {xₙ} и {yₙ} существуют и равны одному и тому же числу a (или ±∞), то последовательность {zₙ} также сходится к этому же пределу a.
Арифметические свойства пределов
Пусть пределы последовательностей {xₙ} и {yₙ} существуют (конечные или бесконечные). Тогда, если выражения в правых частях корректно определены, выполняются равенства:
- lim(xₙ ± yₙ) = lim xₙ ± lim yₙ
- lim(xₙ ⋅ yₙ) = lim xₙ ⋅ lim yₙ
- lim(xₙ / yₙ) = lim xₙ / lim yₙ (при условии lim yₙ ≠ 0)
Ключевое условие: "Пусть то, что справа, корректно определено. Тогда то, что слева, тоже корректно и равно этому".
Неопределённости
Бывают случаи, когда правая часть не определена однозначно, и требуется дополнительный анализ:
- (+∞) + (–∞)
- 0 ⋅ ∞
- ∞ / ∞
- 0 / 0
Связь последовательности и её модуля
Утверждение "lim xₙ = 0 ⇔ lim |xₙ| = 0" справедливо. Однако из существования предела модуля последовательности, вообще говоря, не следует существование предела самой последовательности.
Подпоследовательности и частичные пределы
Подпоследовательность {xₙₖ} получается из исходной последовательности {xₙ} выбором бесконечного набора элементов с сохранением порядка.
- Предел сходящейся подпоследовательности называется частичным пределом исходной последовательности.
- У ограниченной последовательности всегда существует хотя бы одна сходящаяся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса).
- Если последовательность сходится (к конечному пределу или бесконечности), то и любая её подпоследовательность сходится к тому же пределу.
Верхний и нижний пределы
Для любой последовательности всегда существуют верхний (lim sup) и нижний (lim inf) пределы.
- Для ограниченной последовательности это конечные числа.
- Они равны соответственно наибольшему и наименьшему частичным пределам.
- Последовательность имеет предел (конечный или бесконечный) тогда и только тогда, когда её верхний и нижний пределы совпадают.
Любая последовательность имеет верхний и нижний пределы. Это фундаментальный результат, позволяющий получать многие математические следствия.
Монотонные последовательности
Последовательность называется возрастающей, если xₙ₊₁ ≥ xₙ для всех n, и убывающей, если xₙ₊₁ ≤ xₙ.
Критерий сходимости монотонной последовательности
- Монотонно возрастающая последовательность сходится к конечному пределу, если она ограничена сверху. Если она не ограничена сверху, то её предел равен +∞.
- Монотонно убывающая последовательность сходится к конечному пределу, если она ограничена снизу. Если она не ограничена снизу, то её предел равен –∞.
Любая монотонная последовательность имеет предел (конечный или бесконечный).
Число e
Рассмотрим последовательность xₙ = (1 + 1/n)ⁿ. Она является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Следовательно, она имеет конечный предел, который обозначается буквой e (число Эйлера).
e ≈ 2.71828...
Критерий Коши (критерий фундаментальности)
Для сходимости последовательности к конечному пределу необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши:
∀ε > 0 ∃N: ∀n, m > N ⇒ |xₙ – xₘ| < ε.
Прелесть критерия Коши в том, что он позволяет установить факт сходимости, не зная заранее значения предела.