Полярная система координат и кривые

Полярная система координат

Положение точки на плоскости можно определять не только декартовыми координатами (x, y), но и с помощью расстояния от центра и угла. Эта система называется полярной.

Координаты: Точка M задается парой (r, φ), где r — расстояние от начала координат (радиус), а φ — угол между радиус-вектором и осью X.
Связь с декартовыми координатами:
- x = r * cos φ
- y = r * sin φ
- r = √(x² + y²) (следует из теоремы Пифагора)
- φ = arctg(y/x) (требует внимания к знакам)

В полярной системе координат функции, такие как косинус и синус, ведут себя иначе, чем в декартовой.

Построение кривых в полярных координатах

Кардиоида

Кривая задается уравнением r = 1 + cos φ. Для построения удобно составить таблицу значений r для характерных углов φ.

При φ = 0: r = 2 (максимальное значение).
При φ = π/2: r = 1.
При φ = π: r = 0.
Радиус r всегда неотрицателен для данного уравнения.

Соединив рассчитанные точки плавной линией, получаем замкнутую кривую, по форме напоминающую сердце, что и отражено в её названии — кардиоида.

Кривая `r = cos φ`

На первый взгляд уравнение напоминает косинусоиду, но в полярных координатах это не так. Чтобы понять её вид, выполним преобразование к декартовым координатам.

Умножаем обе части на r: r² = r * cos φ.
Заменяем r² на x² + y², а r * cos φ на x: x² + y² = x.
Переносим всё в одну часть и выделяем полный квадрат: x² - x + y² = 0 → (x - 1/2)² + y² = 1/4.

Полученное уравнение (x - a)² + (y - b)² = R² является уравнением окружности с центром в точке (1/2, 0) и радиусом 1/2. Таким образом, кривая r = cos φ в полярных координатах представляет собой окружность.