Конспект

YouTubeТеория вероятности, Райгородский А.М., 24.09.20

Аксиоматика Колмогорова и случайные величины

Ключевые тезисы

  • Вероятностная модель строится на трёх объектах: пространстве элементарных исходов (Ω), сигма-алгебре событий (F) и вероятностной мере (P).
  • Случайная величина — это измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу число.
  • Функция распределения — центральный объект для описания случайной величины, показывающий вероятность того, что она не превосходит заданного значения.

Вероятностное пространство (Ω, F, P)

Это тройка объектов, составляющая формальную основу теории вероятностей.

Ω (пространство элементарных исходов)

  • Это любое множество. Его элементы интерпретируются как элементарные, неделимые исходы случайного эксперимента.
  • Примеры: конечное множество (классическая вероятность), подмножество Rⁿ (геометрическая вероятность), последовательности нулей и единиц (схема Бернулли).

F (сигма-алгебра событий)

  • Это совокупность подмножеств Ω, которые мы соглашаемся считать событиями. Она не обязана включать все подмножества Ω.
  • Свойства (аксиомы):
    1. Ω ∈ F (всё пространство — событие).
    2. Если A ∈ F, то его дополнение Ā (отрицание) тоже ∈ F.
    3. Если A, B ∈ F, то их объединение A ∪ B ∈ F.
    4. Объединение счётного числа событий из F также принадлежит F.
  • Из этих свойств следует, что пустое множество ∅ ∈ F, а также что пересечение событий принадлежит F.
  • Примеры сигма-алгебр:
    • Тривиальная: F = {∅, Ω}. Состоит только из невозможного и достоверного событий.
    • Дискретная (для конечного Ω): F включает все возможные подмножества Ω.

P (вероятностная мера)

  • Это функция, которая каждому событию A из F ставит в соответствие число P(A) от 0 до 1 — его вероятность.
  • Свойства (аксиомы):
    1. P(Ω) = 1.
    2. Если события A и B не пересекаются (A ∩ B = ∅), то P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (конечная аддитивность).
    3. Для счётного набора попарно непересекающихся событий {Aᵢ} выполняется сигма-аддитивность: P(∪ Aᵢ) = Σ P(Aᵢ).

Случайные величины

Определение

  • Случайная величина — это измеримая функция ξ: Ω → R, ставящая в соответствие элементарному исходу ω ∈ Ω вещественное число ξ(ω).
  • "Случайность" заключается в том, что аргумент функции (элементарный исход) выбирается случайно согласно мере P.

Измеримость

  • Функция ξ называется измеримой, если для любого x ∈ R множество {ω ∈ Ω : ξ(ω) ≤ x} является событием, то есть принадлежит F.
  • Это требование гарантирует, что мы можем корректно посчитать вероятность P(ξ ≤ x).
  • Пример нарушения: Если F — тривиальная сигма-алгебра ({∅, Ω}), то измеримыми будут только постоянные (константные) функции.

Функция распределения

  • Функция распределения случайной величины ξ — это функция F_ξ(x) = P(ξ ≤ x).
  • Зная её, можно вычислить вероятность попадания ξ в любое "хорошее" множество на прямой (например, интервал).
  • Свойства функции распределения:
    1. Значения лежат в отрезке [0, 1].
    2. Монотонно не убывает.
    3. Непрерывна справа.
    4. lim (x→ -∞) F_ξ(x) = 0, lim (x→ +∞) F_ξ(x) = 1.

Примеры распределений случайных величин

Дискретные случайные величины
Принимают конечное или счётное множество значений. Распределение задаётся вероятностями этих значений: pᵢ = P(ξ = yᵢ).

  • Биномиальное: ξ ~ Bin(n, p). P(ξ = k) = Cₙᵏ pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0, 1, ..., n.
  • Пуассоновское: ξ ~ Pois(λ). P(ξ = k) = (λᵏ / k!) e⁻λ, k = 0, 1, 2, ...

Абсолютно непрерывные случайные величины
Существует неотрицательная функция p(x) — плотность распределения — такая, что:

  1. ∫ p(x) dx = 1 (интегрирование по всей прямой).
  2. F_ξ(x) = P(ξ ≤ x) = ∫₋ₐₓ p(t) dt.
  • Равномерное на [a, b]: ξ ~ R(a, b). Плотность: p(x) = 1/(b-a) при x ∈ [a, b], и 0 иначе.
  • Нормальное (Гауссовское): ξ ~ N(a, σ²). Плотность: p(x) = (1/(σ√(2π))) exp( -(x-a)²/(2σ²) ). Частный случай N(0,1) — стандартное нормальное распределение.

Выводы

  • Аксиоматика Колмогорова предоставляет строгий и гибкий язык для описания случайных экспериментов, допуская различные интерпретации случайности (например, как в парадоксе Бертрана).
  • Случайная величина — это способ перевести исходы эксперимента в числовую форму для анализа.
  • Функция распределения (или её аналоги — вероятности значений для дискретных и плотность для абсолютно непрерывных величин) полностью описывает поведение случайной величины.