Конспект

Понятие поверхности

Рассматриваются гладкие поверхности — двумерные многообразия в пространстве, заданные вектор-функцией двух параметров. Предполагается, что поверхность является гладкой, то есть имеет непрерывные частные производные, что позволяет ввести понятие касательной плоскости в каждой точке.

• Поверхность задаётся вектор-функцией r(u, v).
• Касательная плоскость в точке определяется двумя линейно независимыми векторами — частными производными вектор-функции по параметрам: r'_u и r'_v.
• Для работы рассматриваются «хорошие» куски поверхности, которые можно однозначно спроектировать на какую-либо координатную плоскость.

Ориентация поверхности

Поверхность может быть двусторонней или односторонней. Для двусторонней поверхности в каждой точке можно задать единичный вектор нормали, и это поле нормалей можно согласованно продолжить на всю поверхность.

• Ориентация поверхности — это непрерывный выбор направления нормали (одного из двух возможных) во всех точках поверхности.
• Выбрав ориентацию в одной точке, мы распространяем её согласованно на всю поверхность. Смена знака нормали меняет ориентацию на противоположную.
• Понятие ориентации принципиально важно для интегралов второго рода (потоков векторных полей).

Ориентация — это способ согласовать направление нормалей в разных точках поверхности.

Площадь поверхности

Площадь криволинейной поверхности определяется как предел площадей вписанных многогранников при измельчении разбиения. На практике вычисляется через интеграл.

• Идея: поверхность разбивается на малые криволинейные ячейки, которые приближённо заменяются кусками касательной плоскости.
• Площадь такого элементарного «параллелограмма» на касательной плоскости вычисляется как длина векторного произведения частных производных: |r'_u × r'_v|.
• Площадь поверхности S заданной параметрически r = r(u, v), где (u, v) принадлежат области Ω, вычисляется по формуле:
  S = ∫∫_Ω |r'_u × r'_v| du dv.

Вывод формулы основан на том, что модуль векторного произведения даёт площадь параллелограмма, построенного на касательных векторах, которая является главной линейной частью приращения площади поверхности.

Свойства площади поверхности

Свойства интеграла, задающего площадь, естественным образом следуют из свойств двойного интеграла и аддитивности площади.

• Аддитивность: Площадь объединения непересекающихся гладких кусков поверхности равна сумме их площадей.
• Инвариантность: Площадь не зависит от выбора параметризации поверхности.
• Вычисление сводится к стандартному двойному интегралу по области параметров.

Поверхностные интегралы (введение)

По аналогии с криволинейными интегралами, на поверхности можно вводить интегралы от функций. Такой интеграл представляет собой предел интегральных сумм.

• Поверхностный интеграл первого рода (по площади) от функции f(x, y, z) записывается как ∫∫_S f dS.
• Физический смысл: если f — плотность поверхности, то интеграл даёт её полную массу.
• Свойства такого интеграла (линейность, аддитивность) транслируются со свойств двойного интеграла, к которому он в итоге сводится при вычислении.