Ваш конспект

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Ключевые тезисы:

• Уравнение вида y' = f(x, y) называется однородным, если функция f является однородной функцией нулевого измерения.
• Решение сводится к замене переменных и преобразованию в уравнение с разделяющимися переменными.
• После решения необходимо вернуться к исходной переменной.

Определение однородной функции

Функция f(x, y) называется однородной функцией нулевого измерения, если для любого параметра t выполняется условие:
f(tx, ty) = t⁰ · f(x, y) = f(x, y)

Это означает, что при замене x → tx и y → ty функция не меняется (параметр t сокращается).

Пример проверки однородности:
Функция: f(x, y) = (x + √(x² + y²)) / (x - y)

• Проверяем: f(tx, ty) = (tx + √(t²x² + t²y²)) / (tx - ty) = t(x + √(x² + y²)) / t(x - y) = f(x, y)
• Функция однородна нулевого измерения.

Общий вид однородного уравнения

Если y' = f(x, y) и f — однородная функция нулевого измерения, то уравнение можно преобразовать:
y' = φ(y/x)
где φ — функция, зависящая только от отношения y/x.

Метод решения (замена переменных)

1. Вводим замену: u = y/x → y = u · x
2. Вычисляем производную: y' = u' · x + u
3. Подставляем в уравнение: u' · x + u = φ(u)
4. Преобразуем: Получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x.

После решения уравнения находим u(x), затем возвращаемся к исходной переменной:
y(x) = u(x) · x

Пример решения

Уравнение: y' = y/x + √(1 + (y/x)²)

Правая часть уже представлена как функция φ(y/x), что сразу указывает на однородность.

Решение:

1. Замена: u = y/x → y = ux, y' = u'x + u
2. Подстановка: u'x + u = u + √(1 + u²) → u'x = √(1 + u²)
3. Разделение переменных: du / √(1 + u²) = dx / x
4. Интегрирование: ∫ du / √(1 + u²) - ∫ dx / x = 0
   • ∫ du / √(1 + u²) = ln(u + √(1 + u²))
   • ∫ dx / x = ln x
   • Результат: ln(u + √(1 + u²)) - ln x = ln C (константа)
5. Упрощение: ln(u + √(1 + u²)) = ln(Cx) → u + √(1 + u²) = Cx
6. Возврат к y: y/x + √(1 + (y/x)²) = Cx
   • Можно упростить: y + √(x² + y²) = Cx²

Ответ можно оставить в виде общего интеграла: y + √(x² + y²) = Cx²

Алгоритм решения однородных уравнений

1. Проверить, что правая часть уравнения является однородной функцией нулевого измерения (представить как φ(y/x) или доказать по определению).
2. Выполнить замену u = y/x.
3. Преобразовать уравнение к виду с разделяющимися переменными.
4. Решить полученное уравнение, найти u(x).
5. Вернуться к исходной переменной: y(x) = u(x) · x.