Конспект по оформлению второй части ЕГЭ по математике

Общие правила оформления

Эксперт должен понимать решение

Решение должно быть понятно проверяющему. Особенно в высокобалльных задачах (параметры, №19) нечитабельное или запутанное решение затрудняет проверку. Помогайте эксперту, а не мешайте.

Один способ вместо нескольких

Приводить несколько способов решения рискованно. Если один из них окажется неправильным, это создаст проблему. Одного правильного решения достаточно для максимального балла.

Пример: В задаче №19 (ответ «да/нет») достаточно одного подтверждающего примера. В №13 не нужно показывать отбор корней двумя способами.

Полный и правильный ответ

Неправильно выписанный ответ — частая причина потери баллов.

Ответ должен быть правильным и явно выделенным.
Эксперт имеет право не искать ответ, если он не подписан.
Неправильный ответ при верном решении часто ведёт к понижению балла.

Важно: Проверяйте ответ несколько раз. Некоторые эксперты могут простить опечатку, но рассчитывать на это не стоит.

ОДЗ, ограничения и условия

ОДЗ писать не обязательно, если идут равносильные преобразования или замена.
Если пишете ОДЗ, необходимо указать все ограничения полностью. Ошибка в ОДЗ может привести к нулю за всё задание.
Чтобы не рисковать, вместо термина «ОДЗ» можно писать «огр.» (ограничения) или «условия», включая туда только необходимое.

Лайфхак: Использование «огр.» вместо «ОДЗ» даёт больше свободы и снижает риск.

Знаки следствия и равносильности

Их использование не рекомендуется, но и не запрещено.

Если используете — делайте это правильно. Ошибка в их применении (особенно в параметрах) может привести к снижению балла.
Если не уверены — лучше не пишите никаких знаков. Это лучше, чем написать неправильно.

Описки и опечатки

Официального понятия «описка» в ЕГЭ нет. Эксперт не имеет права додумывать за вас.

Очевидные описки в геометрии могут быть пропущены при проверке, но на апелляции это не работает.
Если описка допущена и в следующей строчке исправлена, это может быть воспринято как двойная ошибка.

Пример из опыта: Описка в индексе (B вместо B1) или в формулировке теоремы косинусов привела к снижению балла.

Общие принципы и частые вопросы

Разрыв решения: Можно решать задачи в любом порядке, переносить продолжение на другой бланк. Главное — написать «продолжение на листе №...».
Черновик и бланк: Можно зачёркивать неверное в бланке. Эксперт проверяет только окончательный вариант. Если решения на бланке нет, но оно есть в черновике — не проверяется.
Терминология: Путаница между теоремой/свойством/признаком или прямой/обратной теоремой не является критичной ошибкой, если это единичный случай. Но накопление таких неточностей может привести к снижению балла.
«Очевидность»: Слова «очевидно», «видно по рисунку» не являются доказательством.
Личные пометки: Категорически нельзя делать любые пометки, которые могут идентифицировать автора (имя, благодарности, шутки). Это может привести к аннулированию работы.
Методы: Можно использовать любые методы из школьной программы (координатный, метод остатков и др.), правильно их оформляя.

Задание №13 (Тригонометрические уравнения)

Квадратные уравнения относительно функции

При решении квадратных уравнений относительно тригонометрической функции сначала делайте замену, потом находите дискриминант.

Неправильно: Писать дискриминант для исходного тригонометрического уравнения.
Правильно: sin x = t, |t| ≤ 1, затем решаем квадратное уравнение относительно t.

Ограничения на замену

Писать ограничения на замену (например, t ∈ [-1; 1] для sin x) не обязательно. Но если пишете — будьте внимательны.

Фатально: Написать неверное ограничение (например, tg x ∈ [-1; 1]).

Обозначение серий решений

Указывать, что k ∈ Z (целым числам) — важно. Достаточно сделать это один раз в решении.
Можно использовать одну и ту же букву для разных серий. Менять её не обязательно.
Теорему Виета можно применять без явной замены, сразу записывая значения функций.

Однородные уравнения и деление

При решении однородных уравнений деление на cos x или sin x допускается без подробного разбора случая равенства нулю. Можно сразу переходить к tg x или ctg x.

Пример: sin x + 2sin x cos x = 0 => Делим на cos x (случай cos x = 0 не даёт решений) => tg x + 2 sin x = 0.

Отбор корней

Допускается любой верный способ: через окружность, неравенство или «метод артиллериста».

Отбор по окружности (базовый способ)

Must-have для оформления:

Рисуем окружность.
Не подписываем оси или подписываем правильно (cos x, sin x). Подпись x, y — рискованно.
Чётко и понятно выделяем дугу, соответствующую заданному промежутку.
Обязательно подписываем границы промежутка на окружности.
Отмечаем точки на дуге и устанавливаем однозначное соответствие между точкой и значением корня (например, подписываем x₁, x₂ или рисуем стрелки).
Не отмечаем лишние точки на выделенной дуге, особенно не принадлежащие промежутку.
Пишем конкретные значения корней из промежутка, а не серии с периодом.

Важно: Если период не 2πk или πk, а промежуток больше 2π, рекомендуется делать отбор двойными неравенствами или рисовать несколько окружностей.

Отбор двойными неравенствами

Нужно честно показать поиск целых k, даже если их нет.
Пропускать шаги и сразу писать ответ для k нельзя.
Арифметическая ошибка, не меняющая итоговый индекс, всё равно считается ошибкой в отборе.

Задание №15 (Неравенства)

ОДЗ vs Ограничения

Если вы подписали блок как «ОДЗ», вы обязаны выписать все ограничения полностью. Неполное ОДЗ ведёт к нулю.
Чтобы избежать риска, используйте «огр.» или «условия». Тогда можно выписать только нужные ограничения.
Топ-3 ошибок в ОДЗ:
1. x² > 0 => x ∈ R (любое).
2. x² > 0 => x > 0 (потерян x < 0).
3. Неверное решение системы ограничений (например, x > 1 и 1/x < 2 => x > 1/2).

Метод интервалов

Не требуется пояснять расстановку знаков на числовой прямой.
Не требуется обосновывать взаимное расположение корней (что больше, что меньше).
Подписывать ось x — хороший тон, хотя обычно не карается.
В точке, где функция не определена (выколотая точка), не ставьте знак. Обозначьте её кружком, флажком, но не +/-.
При использовании обобщённого метода интервалов (для логарифмических, показательных неравенств) знаки расставляются только на области определения функции.
Применим только для неравенств. Точки на числовой прямой можно не закрашивать, достаточно выколоть.

Метод рационализации

Не требуется отдельно пояснять или называть метод.
Можно сразу записывать равносильный переход.
Важно помнить про множитель (основание - 1), особенно если основание меньше 1 (тогда знак неравенства меняется).
При использовании метода рационализации (замены множителей) не нужно дополнительно обосновывать эквивалентность замены. Достаточно корректно её применить.

Показательные неравенства с заменой

При замене t = aˣ не обязательно заранее писать t > 0. Но если написали — учитывайте это правильно при расстановке знаков. В неравенствах это часто не критично, в параметрах — обязательно.

Задание №17 (Экономика)

Обозначение переменных и оформление модели

Все вводимые переменные стоит описывать.

Пример: S — сумма кредита, k = 1 + r/100 — коэффициент увеличения.

Моделью может быть уравнение, неравенство или система.
Обязательно поясняйте, как вы пришли к этой модели. Без пояснений решение не засчитают.
Популярный и надёжный способ — оформление в виде таблицы (долг, начисление процентов, выплата, новый долг), после которой составляется финальное уравнение/неравенство.
Можно описывать процесс словами ("год", "выплата") или "ёлочкой", главное — чтобы логика была понятна эксперту.

% Знак процента

Самый надёжный способ — не использовать знак процента (%) в решении.
Если r = 25, то это и есть 25 процентов. Не нужно писать r = 25%, а затем делить на 100.
Неверное использование знака % может привести к ошибке.

Единицы измерения

Ответ обязательно давать в тех единицах, которые требуются по условию. Если в условии миллионы, ответ — в миллионах.
Если единицы в условии неоднозначны, лучше явно указать их в ответе (например, 1 000 000 руб. или 50 тыс. руб.).
Если хотите дать ответ в иностранной валюте (доллары, евро), используйте курс ЦБ РФ на день экзамена.

Работа с прогрессиями

Если используете арифметическую прогрессию для суммирования платежей, нужно показать, что платежи действительно её образуют (выписать первый, второй и последний платежи).
Если в задаче говорится о "наименьшем" или "наибольшем" платеже, нужно пояснить, почему именно этот платёж является таковым (например: "первый платёж наибольший, так как в начале долг и, следовательно, проценты по нему максимальны").

Критические ошибки

Использование одной переменной для разных величин (например, x для выплат в разных задачах внутри одного решения).
Замена знака в модели: Если в условии "не более 2 млн", в модели должно быть x ≤ 2 000 000, а не x = 2 000 000.
Использование "готовых" формул без вывода (например, свёрнутой формулы суммы прогрессии) — это недопустимо.
Любая ошибка в модели приводит к 0 баллов. Ошибка в вычислениях после верной модели — к снижению до 1 балла.

Задание №18 (Параметры)

Графический метод (рекомендуется)

Подписывайте оси (x, a или x, y) и указывайте масштаб (где находится единичный отрезок). Можно менять масштаб на разных осях, но на одной оси он должен быть единым.
Стройте графики аккуратно, с ключевыми точками. Графики и прямые желательно подписывать. Схематичных "набросков" может быть недостаточно.
Рассчитывайте и подписывайте координаты всех важных точек (вершины парабол, центры окружностей, точки пересечения и касания). Нельзя писать "видно по графику".
Если график "движется" из-за параметра (например, y = |x - a| + 2a), опишите его траекторию ("вершина графика движется по прямой y = 2x").
Обязательно анализируйте количество решений для всех ключевых значений параметра. Желательно нарисовать "катану" (вертикальную прямую) и промаркировать на оси параметра a, сколько решений соответствует каждому интервалу.
Для нестандартных функций (построенных через производную) указывайте свойства (монотонность, экстремумы).
Критические точки: При касании (дискриминант = 0) рекомендуется проверять, что точка касания попадает на нужный график.
Отбор корней: Если при решении уравнения получено два подходящих корня, нельзя просто взять один — нужно пояснить, почему второй не подходит.

Аналитический метод

При замене переменной учитывайте её область значений (например, если t = 2^x, то t > 0).
Не путайте знаки системы { и совокупности [. В параметрах за это могут снять все баллы.
Проверяйте случай совпадения корней.
Если используете симметрию (например, замечаете, что если x — корень, то -x тоже корень), нужно показать подстановкой и указать, что область определения симметрична.
Если в процессе решения получается сложное алгебраическое уравнение (кубическое и т.д.), можно использовать метод подбора корня и схему Горнера или деление уголком, не требуя подробного обоснования угадывания корня.

Общие принципы

Решение должно быть полным исследованием, а не набором действий.
Любая ошибка в ответе (даже арифметическая) ведёт к потере баллов (максимум 1-2 балла за задачу).
Если не уверены в каком-то шаге (например, в количестве решений на интервале), лучше его не писать, чем написать неверно.
Не упрощайте ответ: оставляйте обыкновенные дроби, корни. Если в ответе получилась дробь 99/3, можно оставить так (это не ошибка), но лучше сократить до 33.

Задача №19 (С параметром, «экономическая»)

Пункт «а» (пример): Если в задаче вопрос «да/нет» и ответ «да», достаточно привести один корректный пример. Его проверка желательна, но строго не обязательна.
Пункт «в» (оценка): Обязательно нужно привести и оценку, и пример, её достигающий. Решение только оценкой без примера рискует не быть засчитанным.
Перебор: Если используете перебор, он должен быть полным или должно быть четко описано, почему остальные случаи не рассматриваются.
Математический язык: Нужно использовать математические аргументы (делимость, остатки, целочисленность). Фразы вроде «очевидно» или «мамой клянусь» не